Vereinfachte Kovarianzaktualisierungsgleichung
In vielen Lehrbüchern findet man eine vereinfachte Form der Kovarianzaktualisierungsgleichung (Covariance Update Equation):
\[ \boldsymbol{P}_{n,n} = \left(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{H} \right) \boldsymbol{P}_{n,n-1} \]
Um diese vereinfachte Form der Kovarianzaktualisierungsgleichung herzuleiten, setzt man die Kalman-Gain-Gleichung (Kalman Gain equation) in die Kovarianzaktualisierungsgleichung ein.
| Hinweise | |
|---|---|
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} = \boldsymbol{P}_{n,n-1} - \boldsymbol{P}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T}\boldsymbol{K}_{n}^{T} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{HP}_{n,n-1} + \\ + \color{#7030A0}{\boldsymbol{K}_{n}} \left(\boldsymbol{HP}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T} + \boldsymbol{R}_{n} \right) \boldsymbol{K}_{n}^{T} \) | Kovarianzaktualisierungsgleichung nach dem Ausmultiplizieren (expansion) |
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} = \boldsymbol{P}_{n,n-1} - \boldsymbol{P}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T}\boldsymbol{K}_{n}^{T} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{HP}_{n,n-1} + \\ + \color{#7030A0}{ \boldsymbol{P}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T}\left(\boldsymbol{HP}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T} + \boldsymbol{R}_{n} \right)^{-1} } \left(\boldsymbol{HP}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T} + \boldsymbol{R}_{n} \right) \boldsymbol{K}_{n}^{T} \) | Setzen Sie die Kalman-Gain-Gleichung (Kalman Gain equation) ein |
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} = \boldsymbol{P}_{n,n-1} - \boldsymbol{P}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T}\boldsymbol{K}_{n}^{T} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{HP}_{n,n-1} + \\ + \boldsymbol{P}_{n,n-1}H^{T} \boldsymbol{K}_{n}^{T} \) | \( \left(\boldsymbol{HP}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T} + \boldsymbol{R}_{n} \right)^{-1} \times \\ \times \left(\boldsymbol{HP}_{n,n-1}\boldsymbol{H}^{T} + \boldsymbol{R}_{n} \right) = 1 \) |
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} = \boldsymbol{P}_{n,n-1} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{HP}_{n,n-1} \) | |
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} = \left(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{K}_{n}\boldsymbol{H} \right)\boldsymbol{P}_{n,n-1} \) |
Weitere Details finden Sie in: „Bucy, R. S., and Joseph, P. D. (1968). Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance. Interscience, New York“, Kapitel 16, Abschnitt „Roundoff errors“.