Mehrdimensionaler Kalman-Filter
Nachdem Sie den Abschnitt „Kalman-Filter in einer Dimension“ gelesen haben, sollten Sie mit den Konzepten des Kalman-Filters vertraut sein. In diesem Abschnitt leiten wir die Gleichungen des mehrdimensionalen (multivariaten) Kalman-Filters her.
Dieser Tutorialabschnitt behandelt einen linearen Kalman-Filter (Linear Kalman Filter, LKF). Der LKF geht davon aus, dass die Systemdynamik linear ist.
Bis jetzt haben wir uns mit eindimensionalen Prozessen beschäftigt, z. B. mit der Schätzung der Temperatur einer Flüssigkeit. Viele dynamische Prozesse haben jedoch zwei, drei oder sogar noch mehr Dimensionen.
Zum Beispiel ist der Zustandsvektor (state vector), der die Position des Flugzeugs im Raum beschreibt, dreidimensional:
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \end{matrix} \right] \]
Der Zustandsvektor, der die Position und die Geschwindigkeit des Flugzeugs beschreibt, ist sechsdimensional:
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \end{matrix} \right] \]
Der Zustandsvektor, der die Position, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Flugzeugs beschreibt, ist neundimensional:
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\\ \end{matrix} \right] \]
Unter der Annahme eines dynamischen Modells mit konstanter Beschleunigung können wir den extrapolierten Flugzeugzustand zum Zeitpunkt \( n \) durch neun Bewegungsgleichungen beschreiben:
\[ \begin{cases} x_{n} = x_{n-1} + \dot{x}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{x}_{n-1} \Delta t^{2}\\ y_{n} = y_{n-1} + \dot{y}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{y}_{n-1} \Delta t^{2}\\ z_{n} = z_{n-1} + \dot{z}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{z}_{n-1} \Delta t^{2}\\ \dot{x}_{n} = \dot{x}_{n-1} + \ddot{x}_{n-1} \Delta t\\ \dot{y}_{n} = \dot{y}_{n-1} + \ddot{y}_{n-1} \Delta t\\ \dot{z}_{n} = \dot{z}_{n-1} + \ddot{z}_{n-1} \Delta t\\ \ddot{x}_{n} = \ddot{x}_{n-1}\\ \ddot{y}_{n} = \ddot{y}_{n-1}\\ \ddot{z}_{n} = \ddot{z}_{n-1}\\ \end{cases} \]
Es ist gängige Praxis, einen mehrdimensionalen Prozess mit einer einzigen Gleichung in Matrixform zu beschreiben.
Erstens ist es sehr mühsam, all diese Gleichungen aufzuschreiben; die Darstellung in Matrixnotation ist deutlich kürzer und eleganter.
Zweitens sind Computer bei Matrixrechnungen äußerst effizient. Eine Implementierung des Kalman-Filters in Matrixform führt zu einer kürzeren Rechenzeit.
Die folgenden Kapitel beschreiben die Kalman-Filter-Gleichungen in Matrixform. Und natürlich folgt auf den theoretischen Teil eine Reihe vollständig gelöster Zahlenbeispiele.
Das letzte Kapitel enthält zwei Zahlenbeispiele. Im ersten Beispiel entwerfen wir einen sechsdimensionalen Kalman-Filter ohne Steuereingang. Im zweiten Beispiel entwerfen wir einen zweidimensionalen Kalman-Filter mit einem Steuereingang.