多变量卡尔曼滤波
在完成阅读“一维卡尔曼滤波”一章后，你应该对卡尔曼滤波的概念很熟悉了。本章我们将推导多维（多变量）卡尔曼滤波的方程。
本教程处理的是线性卡尔曼滤波（LKF），LKF假设系统动态模型是线性的。
截至目前，我们已经处理过一维问题，例如估计液体温度。但是许多动态过程有2、3甚至更多个维度。
比如，用于描述在三维空间中运行的飞机的位置的状态向量：
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \end{matrix} \right] \]
描述飞机位置和速度的状态向量是六维的：
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \end{matrix} \right] \]
描述飞机位置、速度和加速度的状态向量则是九维的：
\[ \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\\ \end{matrix} \right] \]
假设匀加速运动模型，我们可以用九个运动方程在 \( n-1 \) 时刻来外插飞机在 \( n \) 时刻的状态：
\[ \begin{cases} x_{n} = x_{n-1} + \dot{x}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{x}_{n-1} \Delta t^{2}\\ y_{n} = y_{n-1} + \dot{y}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{y}_{n-1} \Delta t^{2}\\ z_{n} = z_{n-1} + \dot{z}_{n-1} \Delta t+ \frac{1}{2}\ddot{z}_{n-1} \Delta t^{2}\\ \dot{x}_{n} = \dot{x}_{n-1} + \ddot{x}_{n-1} \Delta t\\ \dot{y}_{n} = \dot{y}_{n-1} + \ddot{y}_{n-1} \Delta t\\ \dot{z}_{n} = \dot{z}_{n-1} + \ddot{z}_{n-1} \Delta t\\ \ddot{x}_{n} = \ddot{x}_{n-1}\\ \ddot{y}_{n} = \ddot{y}_{n-1}\\ \ddot{z}_{n} = \ddot{z}_{n-1}\\ \end{cases} \]
通常我们把九个线性方程用矩阵形式合写成一个方程。
首先，逐一列举这些方程很费劲，用矩阵形式来记述更简洁明了。
其次，计算机进行矩阵计算效率很高，实现矩阵版的卡尔曼滤波能得到更短的计算时间。
后续章节会用矩阵形式描述卡尔曼滤波。并且，理论部分后会紧随具有完整求解流程的数值示例。
最后一章包括两个数值示例。第一个示例里，我们设计一个无输入的六维卡尔曼滤波器；第二个示例里，我们设计一个有输入的二维卡尔曼滤波器。