Messgleichung (Measurement Equation)
Bis jetzt haben wir uns mit der Zukunft beschäftigt. Wir haben zwei Vorhersagegleichungen (prediction equations) des Kalman-Filters hergeleitet:
- Gleichung zur Zustandsextrapolation (State Extrapolation Equation)
- Gleichung zur Kovarianzextrapolation (Covariance Extrapolation Equation)
Ab jetzt beschäftigen wir uns mit der Gegenwart. Beginnen wir mit der Messgleichung (Measurement Equation).
Im Abschnitt „Kalman-Filter in 1D“ haben wir die Messung (measurement) mit \( z_{n} \) bezeichnet.
Der Messwert setzt sich aus dem wahren Systemzustand (true system state) und dem zufälligen Messrauschen (measurement noise) \( v_{n} \) zusammen, das durch das Messgerät verursacht wird.
Die Messrauschvarianz (measurement noise variance) \( r_{n} \) kann für jede Messung konstant sein – zum Beispiel bei einer Waage mit einer Präzision von 0,5 kg (Standardabweichung (standard deviation)). Andererseits kann die Messrauschvarianz \( r_{n} \) bei jeder Messung unterschiedlich sein – zum Beispiel bei einem Thermometer mit einer Präzision von 0,5 % (Standardabweichung (standard deviation)). Im letzteren Fall hängt die Varianz des Rauschens von der gemessenen Temperatur ab.
Die verallgemeinerte Messgleichung in Matrixform lautet:
| \( \boldsymbol{z}_{n} \) | ist ein Messvektor (measurement vector) |
| \( \boldsymbol{x}_{n} \) | ist ein wahrer Systemzustand (verborgener Zustand, hidden state) |
| \( \boldsymbol{v}_{n} \) | ist ein Zufallsrauschvektor (random noise vector) |
| \( \boldsymbol{H} \) | ist eine Beobachtungsmatrix (observation matrix) |
Die Beobachtungsmatrix \( \boldsymbol{H} \)
In vielen Fällen ist der gemessene Wert nicht der gesuchte Systemzustand. Zum Beispiel misst ein digitales elektronisches Thermometer einen elektrischen Strom, während der Systemzustand die Temperatur ist. Es ist daher eine Transformation des Systemzustands (Eingang, input) zur Messung (Ausgang, output) nötig.
Der Zweck der Beobachtungsmatrix \( \boldsymbol{H} \) besteht darin, den Systemzustand mithilfe linearer Transformationen in Ausgänge umzuwandeln. Die folgenden Abschnitte enthalten Beispiele für die Verwendung der Beobachtungsmatrix.
Skalierung
Ein Entfernungsmesser (range meter) sendet ein Signal in Richtung eines Ziels und empfängt ein reflektiertes Echo. Die Messung ist die Zeitverzögerung zwischen dem Senden und dem Empfangen des Signals. Der Systemzustand ist die Entfernung.
In diesem Fall müssen wir skalieren:
\[ \boldsymbol{z}_{n} = \left[ \begin{matrix} \frac{2}{c}\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol{x}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} \]
\[ \boldsymbol{H} = \left[ \begin{matrix} \frac{2}{c}\\ \end{matrix} \right] \]
Wobei:
\( c \) ist die Lichtgeschwindigkeit (speed of light)
\( \boldsymbol{x}_{n} \) ist die Entfernung (range)
\( \boldsymbol{z}_{n} \) ist die gemessene Zeitverzögerung
Zustandsauswahl
Manchmal werden bestimmte Zustände gemessen, während andere nicht gemessen werden. Beispielsweise sind in einem fünfdimensionalen Zustandsvektor (state vector) der erste, dritte und fünfte Zustand messbar, während der zweite und vierte Zustand nicht messbar sind:
\[ \boldsymbol{z}_{n} = \boldsymbol{Hx}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\\ {x}_{4}\\ {x}_{5}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{3}\\ {x}_{5}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} \]
Kombination von Zuständen
Manchmal kann eine Kombination von Zuständen gemessen werden, anstatt jeden einzelnen Zustand separat zu messen. Zum Beispiel könnten die Seitenlängen eines Dreiecks die Zustände sein, und nur der gesamte Umfang (perimeter) ist messbar:
\[ \boldsymbol{z}_{n} = \boldsymbol{Hx}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} = ({x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}) + \boldsymbol{v}_{n} \]
Dimensionen der Messgleichung
Die folgende Tabelle gibt die Matrixdimensionen der Variablen der Messgleichung an:
| Variable | Beschreibung | Dimension |
|---|---|---|
| \( \boldsymbol{x} \) | Zustandsvektor (state vector) | \( n_{x} \times 1 \) |
| \( \boldsymbol{z} \) | Messvektor | \( n_{z} \times 1 \) |
| \( \boldsymbol{H} \) | Beobachtungsmatrix | \( n_{z} \times n_{x} \) |
| \( \boldsymbol{v} \) | Messrauschvektor (measurement noise vector) | \( n_{z} \times 1 \) |