Zustandsaktualisierungsgleichung (State Update Equation)
Diese Seite ist die kürzeste Seite dieses Tutorials. Eine ausführliche Beschreibung der Zustandsaktualisierungsgleichung (State Update Equation) finden Sie im Abschnitt "\( \alpha -\beta -\gamma \)-Filter" sowie im Abschnitt "Eindimensionaler Kalman-Filter".
Die Zustandsaktualisierungsgleichung in Matrixform lautet:
| \( \boldsymbol{\hat{x}}_{n,n} \) | ist ein geschätzter Systemzustandsvektor (estimated system state vector) im Zeitschritt \( n \) |
| \( \boldsymbol{\hat{x}}_{n,n-1} \) | ist ein vorhergesagter Systemzustandsvektor (predicted system state vector) im Zeitschritt \( n - 1 \) |
| \( \boldsymbol{K}_{n} \) | ist der Kalman-Gain (Kalman Gain) |
| \( \boldsymbol{z}_{n} \) | ist eine Messung (measurement) |
| \( \boldsymbol{H} \) | ist eine Beobachtungsmatrix (observation matrix) |
Sie sollten mit allen Komponenten der Zustandsaktualisierungsgleichung vertraut sein – mit Ausnahme des Kalman-Gains in Matrixnotation. Den Kalman-Gain leiten wir in den folgenden Kapiteln her.
Achten Sie auf die Dimensionen. Wenn der Zustandsvektor beispielsweise 5 Dimensionen hat, aber nur 3 Dimensionen messbar sind (der erste, dritte und fünfte Zustand):
\[ \boldsymbol{x}_{n} = \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol{z}_{n} = \left[ \begin{matrix} z_{1}\\ z_{3}\\ z_{5}\\ \end{matrix} \right] \]
Die Beobachtungsmatrix wäre dann eine \( 3 \times 5 \)-Matrix:
\[ \boldsymbol{H} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \]
Die Innovation (innovation) \( \left( \boldsymbol{z}_{n} - \boldsymbol{H \hat{x}}_{n,n-1} \right) \) ergibt:
\[ \left( \boldsymbol{z}_{n} - \boldsymbol{H \hat{x}}_{n,n-1} \right) = \left[ \begin{matrix} z_{1}\\ z_{3}\\ z_{5}\\ \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \hat{x}_{1}\\ \hat{x}_{2}\\ \hat{x}_{3}\\ \hat{x}_{4}\\ \hat{x}_{5}\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} (z_{1} - \hat{x}_{1})\\ (z_{3} - \hat{x}_{3})\\ (z_{5} - \hat{x}_{5})\\ \end{matrix} \right] \]
Die Dimensionen des Kalman-Gains sollten \( 5 \times 3 \) sein.
Dimensionen der Zustandsaktualisierungsgleichung
Die folgende Tabelle gibt die Matrixdimensionen der Variablen der Zustandsaktualisierungsgleichung an:
| Variable | Beschreibung | Dimension |
|---|---|---|
| \( \boldsymbol{x} \) | Zustandsvektor | \( n_{x} \times 1 \) |
| \( \boldsymbol{z} \) | Messvektor | \( n_{z} \times 1 \) |
| \( \boldsymbol{H} \) | Beobachtungsmatrix | \( n_{z} \times n_{x} \) |
| \( \boldsymbol{K} \) | Kalman-Gain | \( n_{x} \times n_{z} \) |