Zwischenzusammenfassung (Interim Summary)
Dies ist ein guter Punkt, um für eine kurze Zusammenfassung innezuhalten. Bevor wir weitermachen, möchte ich zusammenfassen, was wir bisher gelernt haben.
Wie du dich aus dem Abschnitt „Kalman-Filter in 1D“ erinnerst (falls nicht, schau ihn dir bitte noch einmal an), basieren die Berechnungen des Kalman-Filters auf fünf Gleichungen.
Zwei Vorhersagegleichungen (Prediction equations):
- Gleichung zur Zustandsextrapolation (State Extrapolation Equation) – Vorhersage bzw. Schätzung des zukünftigen Zustands auf Basis der bekannten aktuellen Schätzung.
- Gleichung zur Kovarianzextrapolation (Covariance Extrapolation Equation) – Maß für die Unsicherheit unserer Vorhersage.
Zwei Update-Gleichungen (Update equations):
- Zustandsaktualisierungsgleichung (State Update Equation) – Schätzung des aktuellen Zustands auf Basis der bekannten vergangenen Schätzung und der aktuellen Messung.
- Kovarianzaktualisierungsgleichung (Covariance Update Equation) – Maß für die Unsicherheit unserer Schätzung.
Kalman-Gain-Gleichung (Kalman Gain equation) – benötigt zur Berechnung der Update-Gleichungen. Der Kalman-Gain ist ein „Gewichtungs“-Parameter für die Messung und die bisherigen Schätzungen. Er definiert das Gewicht der bisherigen Schätzung und das Gewicht der Messung bei der Schätzung des aktuellen Zustands.
Bisher haben wir die beiden Vorhersagegleichungen in Matrixschreibweise sowie mehrere Hilfsgleichungen kennengelernt, die zur Berechnung der Hauptgleichungen benötigt werden.
Vorhersagegleichungen (Prediction equations)
Gleichung zur Zustandsextrapolation (State Extrapolation Equation)
Die allgemeine Form der Gleichung zur Zustandsextrapolation in Matrixschreibweise lautet:
| \( \boldsymbol{\hat{x}}_{n+1,n} \) | der vorhergesagte Systemzustandsvektor (system state vector) zum Zeitschritt \( n + 1 \) ist |
| \( \boldsymbol{\hat{x}}_{n,n} \) | der geschätzte Systemzustandsvektor (system state vector) zum Zeitschritt \( n \) ist |
| \( \boldsymbol{u}_{n} \) | die Steuergröße (control variable) bzw. Eingangsgröße (input variable) ist – ein messbarer (deterministischer) Eingang des Systems |
| \( \boldsymbol{w}_{n} \) | das Prozessrauschen (process noise) bzw. die Störung (disturbance) ist – ein nicht messbarer Eingang, der den Zustand beeinflusst |
| \( \boldsymbol{F} \) | die Zustands\u00fcbergangsmatrix (state transition matrix) ist |
| \( \boldsymbol{G} \) | die Steuermatrix (control matrix) bzw. Eingangs\u00fcbergangsmatrix (input transition matrix) ist (Abbildung der Steuerung auf Zustandsvariablen) |
Gleichung zur Kovarianzextrapolation (Covariance Extrapolation Equation)
Die allgemeine Form der Gleichung zur Kovarianzextrapolation ist gegeben durch:
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} \) | die Kovarianzmatrix der aktuellen Zustandssch\u00e4tzung ist |
| \( \boldsymbol{P}_{n+1,n} \) | die Kovarianzmatrix der n\u00e4chsten Zustandssch\u00e4tzung (Vorhersage) ist |
| \( \boldsymbol{F} \) | die Zustands\u00fcbergangsmatrix ist, die wir im Abschnitt „Modellierung linearer dynamischer Systeme“ hergeleitet haben |
| \( \boldsymbol{Q} \) | die Prozessrauschmatrix ist |
Hilfsgleichungen (Auxiliary equations)
Messgleichung (Measurement Equation)
Die verallgemeinerte Messgleichung in Matrixform ist gegeben durch:
| \( \boldsymbol{z}_{n} \) | der Messvektor (measurement vector) ist |
| \( \boldsymbol{x}_{n} \) | der wahre Systemzustand (verborgener Zustand, hidden state) ist |
| \( \boldsymbol{v}_{n} \) | ein zuf\u00e4lliger Rauschvektor (random noise vector) ist |
| \( \boldsymbol{H} \) | die Beobachtungsmatrix (observation matrix) ist |
Kovarianzgleichungen (Covariance Equations)
Die Terme \( \boldsymbol{w} \) und \( \boldsymbol{v} \), die dem Prozess- und Messrauschen entsprechen, tauchen in den Berechnungen typischerweise nicht direkt auf, da sie unbekannt sind.
Stattdessen werden diese Terme verwendet, um die Unsicherheit (uncertainty) bzw. das Rauschen (noise) in den Gleichungen selbst zu modellieren.
Alle Kovarianzgleichungen sind Kovarianzmatrizen der Form:
\[ E \left( \boldsymbol{ee}^{T} \right) \]
d.\u00a0h. der Erwartungswert eines quadratischen Fehlers. Siehe den Abschnitt Wesentliche Grundlagen II f\u00fcr weitere Details.
Messunsicherheit (Measurement uncertainty)
Die Messkovarianz (measurement covariance) ist gegeben durch:
| \( \boldsymbol{R}_{n} \) | die Kovarianzmatrix der Messung ist |
| \( \boldsymbol{v}_{n} \) | der Messfehler (measurement error) ist |
Unsicherheit des Prozessrauschens (Process noise uncertainty)
Die Prozessrauschkovarianz (process noise covariance) ist gegeben durch:
| \( \boldsymbol{Q}_{n} \) | die Kovarianzmatrix des Prozessrauschens ist |
| \( \boldsymbol{w}_{n} \) | das Prozessrauschen (process noise) ist |
Sch\u00e4tzunsicherheit (Estimation uncertainty)
Die Sch\u00e4tzkovarianz (estimation covariance) ist gegeben durch:
| \( \boldsymbol{P}_{n,n} \) | die Kovarianzmatrix des Sch\u00e4tzfehlers (estimation error) ist |
| \( \boldsymbol{e}_{n} \) | der Sch\u00e4tzfehler (estimation error) ist |
| \( \boldsymbol{x}_{n} \) | der wahre Systemzustand (verborgener Zustand, hidden state) ist |
| \( \boldsymbol{\hat{x}}_{n,n} \) | der gesch\u00e4tzte Systemzustandsvektor (system state vector) zum Zeitschritt \( n \) ist |