Nichtlineare Kalman-Filter (Non-linear Kalman Filters)
Sobald Sie den mehrdimensionalen (oder multivariaten) Kalman-Filter (multivariate Kalman Filter) gemeistert haben, sind Sie bereit, sich mit nichtlinearen Kalman-Filtern (nonlinear Kalman filters) zu beschäftigen.
Der Kalman-Filter (Kalman Filter) löst das Schätzproblem (estimation problem) für lineare Systeme. Allerdings sind die meisten realen Systeme nichtlinear (non-linear).
Für den Umgang mit nichtlinearen Systemen werden Techniken der linearen Approximation (Linear Approximation) eingesetzt. Dieser Abschnitt beschreibt zwei gängige Modifikationen des Kalman-Filters, die eine lineare Approximation verwenden:
- Erweiterter Kalman-Filter (Extended Kalman Filter, EKF)
- Unscented Kalman Filter (UKF) oder Sigma-Point-Kalman-Filter (Sigma-point Kalman Filter, SPKF)
Der EKF führt zu jedem Zeitpunkt eine analytische Linearisierung (analytic linearization) des Modells durch. Der EKF ist der gebräuchlichste nichtlineare Kalman-Filter.
Während der standardmäßige lineare Kalman-Filter (Linear Kalman Filter, LKF) ein optimaler Filter (optimal filter) ist, weil er die Schätzunsicherheit minimiert (siehe Abschnitt „Herleitung der Kalman-Gain-Gleichung“), sind alle Kalman-Filter-Modifikationen für nichtlineare Systeme suboptimal (sub-optimal), da wir approximierte Modelle (approximated models) verwenden.
Dieses Kapitel beschreibt die EKF- und UKF-Methoden. Wir diskutieren die Vor- und Nachteile beider Verfahren. Außerdem wird jede Methode anhand numerischer Beispiele veranschaulicht.
Problem der Nichtlinearität (Non-linearity problem)
Bevor wir in die Lösung einsteigen, müssen wir das Problem selbst verstehen. Was sind nichtlineare Systeme (non-linear systems), und warum versagt der standardmäßige lineare Kalman-Filter (LKF) bei nichtlinearen Systemen?
Wir unterscheiden zwei Arten von Nichtlinearitäten (non-linearities):
- Nichtlineare Beziehung zwischen Zustand und Messung (state-to-measurement non-linear relation)
- Nichtlineare Systemdynamik (non-linear system dynamics)
Wir behandeln jede Art von Nichtlinearität separat und kombinieren sie anschließend.
Beispiel – lineares System (Example – linear system)
Betrachten Sie einen Heißluftballon, der sich nur nach oben oder unten bewegen kann und dessen Dynamik einer konstanten Beschleunigung folgt. Wir möchten die Höhe des Ballons schätzen.
Das dynamische Modell (dynamic model) des Ballons ist linear.
Wir können die Systemdynamik des Ballons wie folgt beschreiben: