Herleitung des Erwartungswerts der Varianz (Expectation of variance derivation)

Du weißt bereits, was eine Zufallsvariable (random variable) ist und was der Erwartungswert (expected value, expectation) ist. Falls nicht, lies bitte den Abschnitt Wesentliche Grundlagen I.

Regeln für den Erwartungswert (Expectation rules)

Der Erwartungswert wird durch den Großbuchstaben \( E \) bezeichnet.

Der Erwartungswert der Zufallsvariable \( E(X) \) entspricht dem Mittelwert der Zufallsvariable:

\[ E(X) = \mu_{X} \]
Wobei \( \mu_{X} \) der Mittelwert der Zufallsvariable ist.

Hier sind einige grundlegende Regeln für den Erwartungswert:

Regel Hinweise
1 \( E(X) = \mu_{X} = \Sigma xp(x) \) \( p(x) \) ist die Wahrscheinlichkeit von \( x \) (diskreter Fall)
2 \( E(a) = a \) \( a \) ist konstant
3 \( E(aX) = aE(X) \) \( a \) ist konstant
4 \( E(a \pm X) = a \pm E(X) \) \( a \) ist konstant
5 \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) \( a \) und \( b \) sind konstant
6 \( E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) \) \( Y \) ist eine weitere Zufallsvariable
7 \( E(XY) = E(X)E(Y) \) Wenn \( X \) und \( Y \) unabhängig sind

Alle Regeln sind recht einfach und benötigen keinen Beweis.

Erwartungswert der Varianz (Expectation of the variance)

Der Erwartungswert der Varianz ergibt sich zu:

\[ V(X) = \sigma_{x}^2 = E(X^2) - \mu_{X}^2 \]

Wobei \( V(X) \) die Varianz von \( X \) ist

Der Beweis:

Hinweise
\( V(X) = \sigma_{X}^2 = E((X - \mu_{X})^2) \)
\( = E(X^2 -2X\mu_{X} + \mu_{X}^2) \)
\( = E(X^2) - E(2X\mu_{X}) + E(\mu_{X}^2)\) Regel 5 angewendet: \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \)
\( = E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + E(\mu_{X}^2) \) Regel 3 angewendet: \( E(aX) = aE(X) \)
\( = E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + \mu_{X}^2 \) Regel 2 angewendet: \( E(a) = a \)
\( = E(X^2) - 2\mu_{X}\mu_{X} + \mu_{X}^2 \) Regel 1 angewendet: \( E(X) = \mu_{X} \)
\( = E(X^2) - \mu_{X}^2 \)

Erwartungswert der Varianz der Körperposition (The expectation of the body position variance)

Die Varianz der Positionsänderung des Körpers in Abhängigkeit von Zeit und Geschwindigkeit ist gegeben durch:

\[ V(x) = \Delta t^{2} V(v) \] oder \[ \sigma_{x}^2 = \Delta t^{2} \sigma_{v}^2 \]
Wobei:
\( x \) die Verschiebung des Körpers ist
\( v \) die Geschwindigkeit des Körpers ist
\( \Delta(t) \) das Zeitintervall ist

Der Beweis:

Hinweise
\( V(x) = \sigma_{x}^2 = E(x^2) - \mu_{x}^2 \)
\( = E((v\Delta t)^2) - (\mu_{v}\Delta t)^2 \) Drücke die Varianz der Körperposition in Abhängigkeit von Zeit und Geschwindigkeit aus: \( x = \Delta tv \)
\( = E(v^{2}\Delta t^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} \)
\( = \Delta t^{2}E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} \) Regel 3 angewendet: \( E(aX) = aE(X) \)
\( = \Delta t^{2}(E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}) \)
\( = \Delta t^{2}V(v) \) Regel für den Erwartungswert der Varianz angewendet: \(V(X) = E(X^2) - \mu_{X}^2 \)
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