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分散の導出

このページの解説は、確率変数期待値について理解していることを前提としています。もしそうでなければ、背景を一読ください。

期待値の公式

期待値は、大文字 E で表記されます。

確率変数 E(X) の期待値は、確率変数の平均値と等しくなります。

E(X)=μX
ここで、 μX は確率変数の期待値

ここでは、基本的な期待値の公式について説明します。

公式 備考
1 E(X)=μX=Σxp(x) p(x)x の確率 (離散系)
2 E(a)=a a は一定
3 E(aX)=aE(X) a は一定
4 E(a±X)=a±E(X) a は一定
5 E(a±bX)=a±bE(X) ab は一定
6 E(X±Y)=E(X)±E(Y) Y はランダム雑音
7 E(XY)=E(X)E(Y) XY が独立の場合

ここでは、これらの公式の証明は省略します。

分散

分散は次の式で与えられます。

V(X)=σ2x=E(X2)μ2X

ここで、 V(X)X の分散

証明

備考
V(X)=σ2X=E((XμX)2)=
E(X22XμX+μ2X)=
E(X2)E(2XμX)+E(μ2X)= 公式5を適用: E(a±bX)=a±bE(X)
E(X2)2μXE(X)+E(μ2X)= 公式3を適用: E(aX)=aE(X)
E(X2)2μXE(X)+μ2X= 公式2を適用: E(a)=a
E(X2)2μXμX+μ2X= 公式1を適用: E(X)=μX
E(X2)μ2X

位置の分散の予測

時間と速度に関する位置の分散は次のように表される。

V(x)=Δt2V(v)
または σ2x=Δt2σ2v
ここで、
x :物体の位置
v :物体の速度
Δ(t) :時間間隔

証明

備考
V(x)=σ2x=E(x2)μ2x=
E((vΔt)2)(μvΔt)2= 時間と速度に関する位置の分散は、x=Δtv のように表現される。
E(v2Δt2)μ2vΔt2=
Δt2E(v2)μ2vΔt2= 公式3を適用:E(aX)=aE(X)
Δt2(E(v2)μ2v)=
Δt2V(v) 分散の公式を適用:V(X)=E(X2)μ2X
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