期待値は、大文字 E で表記されます。
確率変数 E(X) の期待値は、確率変数の平均値と等しくなります。
ここでは、基本的な期待値の公式について説明します。
| 公式 | 備考 | |
|---|---|---|
| 1 | E(X)=μX=Σxp(x) | p(x) は x の確率 (離散系) |
| 2 | E(a)=a | a は一定 |
| 3 | E(aX)=aE(X) | a は一定 |
| 4 | E(a±X)=a±E(X) | a は一定 |
| 5 | E(a±bX)=a±bE(X) | a と b は一定 |
| 6 | E(X±Y)=E(X)±E(Y) | Y はランダム雑音 |
| 7 | E(XY)=E(X)E(Y) | X と Y が独立の場合 |
ここでは、これらの公式の証明は省略します。
分散は次の式で与えられます。
証明
| 備考 | |
|---|---|
| V(X)=σ2X=E((X−μX)2)= | |
| E(X2−2XμX+μ2X)= | |
| E(X2)−E(2XμX)+E(μ2X)= | 公式5を適用: E(a±bX)=a±bE(X) |
| E(X2)−2μXE(X)+E(μ2X)= | 公式3を適用: E(aX)=aE(X) |
| E(X2)−2μXE(X)+μ2X= | 公式2を適用: E(a)=a |
| E(X2)−2μXμX+μ2X= | 公式1を適用: E(X)=μX |
| E(X2)−μ2X |
時間と速度に関する位置の分散は次のように表される。
| x | ：物体の位置 |
| v | ：物体の速度 |
| Δ(t) | ：時間間隔 |
証明
| 備考 | |
|---|---|
| V(x)=σ2x=E(x2)−μ2x= | |
| E((vΔt)2)−(μvΔt)2= | 時間と速度に関する位置の分散は、x=Δtv のように表現される。 |
| E(v2Δt2)−μ2vΔt2= | |
| Δt2E(v2)−μ2vΔt2= | 公式3を適用：E(aX)=aE(X) |
| Δt2(E(v2)−μ2v)= | |
| Δt2V(v) | 分散の公式を適用：V(X)=E(X2)−μ2X |