期待値は、大文字 \( E \) で表記されます。
確率変数 \( E(X) \) の期待値は、確率変数の平均値と等しくなります。
ここでは、基本的な期待値の公式について説明します。
| 公式 | 備考 | |
|---|---|---|
| 1 | \( E(X) = \mu_{X} = \Sigma xp(x) \) | \( p(x) \) は \( x \) の確率 (離散系) |
| 2 | \( E(a) = a \) | \( a \) は一定 |
| 3 | \( E(aX) = aE(X) \) | \( a \) は一定 |
| 4 | \( E(a \pm X) = a \pm E(X) \) | \( a \) は一定 |
| 5 | \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) | \( a \) と \( b \) は一定 |
| 6 | \( E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) \) | \( Y \) はランダム雑音 |
| 7 | \( E(XY) = E(X)E(Y) \) | \( X \) と \( Y \) が独立の場合 |
ここでは、これらの公式の証明は省略します。
分散は次の式で与えられます。
証明
| 備考 | |
|---|---|
| \( V(X) = \sigma_{X}^2 = E((X - \mu_{X})^2) = \) | |
| \( E(X^2 -2X\mu_{X} + \mu_{X}^2) = \) | |
| \( E(X^2) - E(2X\mu_{X}) + E(\mu_{X}^2) = \) | 公式5を適用: \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + E(\mu_{X}^2) = \) | 公式3を適用: \( E(aX) = aE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + \mu_{X}^2 = \) | 公式2を適用: \( E(a) = a \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}\mu_{X} + \mu_{X}^2 = \) | 公式1を適用: \( E(X) = \mu_{X} \) |
| \( E(X^2) - \mu_{X}^2 \) |
時間と速度に関する位置の分散は次のように表される。
| \( x \) | ：物体の位置 |
| \( v \) | ：物体の速度 |
| \( \Delta(t) \) | ：時間間隔 |
証明
| 備考 | |
|---|---|
| \( V(x) = \sigma_{x}^2 = E(x^2) - \mu_{x}^2 = \) | |
| \( E((v\Delta t)^2) - (\mu_{v}\Delta t)^2 = \) | 時間と速度に関する位置の分散は、\( x = \Delta tv \) のように表現される。 |
| \( E(v^{2}\Delta t^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | |
| \( \Delta t^{2}E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | 公式3を適用：\( E(aX) = aE(X) \) |
| \( \Delta t^{2}(E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}) = \) | |
| \( \Delta t^{2}V(v) \) | 分散の公式を適用：\(V(X) = E(X^2) - \mu_{X}^2 \) |