\( \alpha -\beta -\gamma \) フィルタ

Example 1 – 金の質量

システムの状態量（すなわち質量）を推定するために、複数回の測定を行い、それらの平均値を計算します。

\( n \)回目において、推定値\( \hat{x}_{n,n} \)はそれまでの測定の平均値を表します。

この例題のモデルは持続予測モデルです。したがって、\( \hat{x}_{n+1,n}= \hat{x}_{n,n} \)です。

\( \hat{x}_{n,n} \)を推定するためには、これまでの全ての測定値を記録しておく必要があります。 仮に、測定値を記録するための紙とペンがなかったとします。また、過去の測定値をすべて記憶しておくという記憶力も頼りにできません。そこで、前回の推定値 \( \hat{x}_{N,N-1} \) を使って、少し調整を加えるだけで\( \hat{x}_{N,N} \)を推定したい（実際のアプリケーションでは、コンピュータのメモリを節約したい）とします。これは、ちょっとした数学的なトリックを使用すれば実現できます。

\( \hat{x}_{n-1,n-1} \) は、\( n - 1\) 時点の観測値に基づいた、\( n - 1\) 時点における状態量 \( x \) の推定値です。

\( \hat{x}_{n-1,n-1} \) (\( n-1 \) 時点における推定値)に基づいて、 ( \( n \) 時点における状態量 \( x \) の予測値) を求めてみましょう。すなわち、\( \hat{x}_{n-1,n-1} \)をN時点に遷移させます。

この例題で扱っているような、静的なモデル（金の延べ棒の質量は時間的に変化しない）では、状態量 \( x \) の推定値と予測値は等しくなります。つまり、\( \hat{x}_{n,n-1} = \hat{x}_{n-1,n-1} \) です。

したがって、現時点での状態量 \( \hat{x}_{n,n} \) の推定値は次のように表されます。

上式は、カルマンフィルタの5つの式のうちの1つです。これは、状態更新式と呼ばれるものです。それは次のような意味です。

ここで、\( \frac{1}{n} \)はこの例題固有の値です。この係数の重要な役割については後ほど説明します。ここで、カルマンフィルタにおいて、この係数はカルマンゲインと呼ばれています。カルマンゲインは\( K_{n} \)で表され、添え字\( n \)はカルマンゲインが反復計算の中で変化することを示しています。

このカルマンゲイン\( K_{n} \)の発見は、ルドルフ・カルマンの主な貢献の1つでした。

カルマンフィルタの仕組みに入る前に、ここでは\( K_{n} \)に代わってギリシャ文字\( \alpha _{n} \)を使用します。

したがって、状態の更新式は次のようになります。

\( \hat{x}_{n,n} \) は事後推定値と呼ばれます。 \( \left( z_{n}- x_{n,n-1} \right) \)の項は、測定値と事前推定値との残差であり、イノベーション（または、予測誤差）と呼ばれます。イノベーションは新しい情報を含んでいます。

この例では、\( N \)が増えるにつれて\( \frac{1}{n} \)は減少します。これは、最初は現在の状態について十分な情報がないため、測定値に基づいて推定が行われることを意味します。測定が続いていくと、連続する測定値の重みは小さくなり、つまり\( \frac{1}{n} \)は減少していくので、推定プロセスにおける重みは小さくなります。ある時点で、新しい測定値の寄与は無視できるようになります。

この例を続けましょう。最初の測定を行う前に、金の延べ棒の刻印を読めば、金の延べ棒の重さを推測（概算）することができます。これは初期推定値と呼ばれ、私たちの最初の推定値となります。

後で見るように、カルマンフィルターはあらかじめ初期推定が必要で、それは非常に大まかなものになる可能性があります。

推定アルゴリズム

次のチャートは、この例題で使用される推定アルゴリズムを示しています。

これで、測定・推定プロセスをスタートする準備が整いました。

数値例

反復開始前

初期化

金塊の重さの初期推定値は1000gとします。この初期値はフィルタの開始時に一度だけ使われるもので、次の反復処理では必要ありません。

\[ \hat{x}_{0,0}=1000g \]

Prediction

金の延べ棒の重さは変わらないものと考えています。したがって、このシステムは静的なシステム（持続予測モデル）です。なので、次の状態の推定値（予測値）は初期値に等しくなります。

\[ \hat{x}_{1,0} = \hat{x}_{0,0}=1000g \]

反復1回目

Step 1

金の重量を測定します。

\[ z_{1}= 996g \]

Step 2

ゲインを計算します。この例題では、ゲインは\( \alpha _{n}= \frac{1}{n} \)です。したがって、

\[ \alpha _{1}= \frac{1}{1}=1 \]

状態更新式を使用して、現在の状態の推定値（事後推定値）を計算します。

\[ \hat{x}_{1,1}= \hat{x}_{1,0}+ \alpha _{1} \left( z_{1}- \hat{x}_{1,0} \right) =1000+1 \left( 996-1000 \right) =996g \]

Step 3

静的なシステムであるため、金の延べ棒の重さは変化しないはずです。つまり、次時点の状態の推定値（予測値）は現時点の状態の推定値と等しくなります。

\[ \hat{x}_{2,1}= \hat{x}_{1,1}=996g \]

反復2回目

単位時間後、前の反復での予測推定値 (predicted estimate) は、現時点での反復計算では、事前推定値となります。

\[ \hat{x}_{2,1}=996g \]

Step 1

2回目の質量の測定を行います。

\[ z_{2}= 994g \]

Step 2

ゲインの計算をします。

\[ \alpha _{2}= \frac{1}{2} \]

現在の状態の推定値（事後推定値）を計算します。

\[ \hat{x}_{2,2}= \hat{x}_{2,1}+ \alpha _{2} \left( z_{2}- \hat{x}_{2,1} \right) =996+\frac{1}{2} \left( 994-996 \right) =995g \]

Step 3

\[ \hat{x}_{3,2}= \hat{x}_{2,2}=995g \]

反復3回目

\[ z_{3}= 1021g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{3}= \frac{1}{3} \] \[ \hat{x}_{3,3}=~ 995+\frac{1}{3} \left( 1021-995 \right) =1003.67g \] \[ \hat{x}_{4,3}=1003.67g \]

反復4回目

\[ z_{4}= 1000g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{4}= \frac{1}{4} \] \[ \hat{x}_{4,4}= 1003.67+\frac{1}{4} \left( 1000-1003.67 \right) =1002.75g \] \[ \hat{x}_{5,4}=1002.75g \]

反復5回目

\[ z_{5}= 1002g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{5}= \frac{1}{5} \] \[ \hat{x}_{5,5}= 1002.75+\frac{1}{5} \left( 1002-1002.75 \right) =1002.6g \] \[ \hat{x}_{6,5}=1002.6g \]

反復6回目

\[ z_{6}= 1010g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{6}= \frac{1}{6} \] \[ \hat{x}_{6,6}= 1002.6+\frac{1}{6} \left( 1010-1002.6 \right) =1003.83g \] \[ \hat{x}_{7,6}=1003.83g \]

反復7回目

\[ z_{7}=983g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{7}= \frac{1}{7} \] \[ \hat{x}_{7,7}= 1003.83+\frac{1}{7} \left( 983-1003.83 \right) =1000.86g \] \[ \hat{x}_{8,7}=1000.86g \]

反復8回目

\[ z_{8}=971g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{8}= \frac{1}{8} \] \[ \hat{x}_{8,8}= 1000.86+\frac{1}{8} \left( 971-1000.86 \right) =997.125g \] \[ \hat{x}_{9,8}=997.125g \]

反復9回目

\[ z_{9}=993g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{9}= \frac{1}{9} \] \[ \hat{x}_{9,9}= 997.125+\frac{1}{9} \left( 993-997.125 \right) =996.67g \] \[ \hat{x}_{10,9}=996.67g \]

反復10回目

\[ z_{10}=1023g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \alpha _{10}= \frac{1}{10} \] \[ \hat{x}_{10,10}= 996.67+\frac{1}{10} \left( 1023-996.67 \right) =999.3g \] \[ \hat{x}_{11,10}=999.3g \]

ここで止めます。測定するたびにゲインは減少します。したがって、連続した各測定値の寄与は、前の測定値の寄与より低くなります。これで、1000gという本当の重さにかなり近づきました。もし、もっとたくさん測定していたら、もっと真の値に近づくでしょう。

以下の表は測定値と推定値をまとめたものです。グラフは測定値・推定値・真値を比較したものです。

推定アルゴリズムが測定値を平滑化し、真値に向かって収束していることがわかります。

本例題のまとめ

この例題では、静的なシステムに対する簡単な推定アルゴリズムを検証しました。また、カルマンフィルタの5つの方程式のうちの1つである状態更新式を導きました。

Example 2 – 1次元における等速運動をする航空機の追尾

この式から、次時点での航続距離は、現時点での航続距離に、ターゲットの速度と追尾間隔をかけたものを加えた値に等しいことがわかります。この例題では航空機の速度は一定と仮定しているので、次時点での速度は現時点での速度と等しくなります。

上式は状態方程式と呼ばれ、カルマンフィルタの5つの方程式のうちの1つでもあります。この方程式は、現在の状態から次の状態を予測します。

すでに前回の例題では、次時点での質量は現時点での質量と等しいと仮定した状態方程式（静的なモデル）を使用しました。

この状態方程式には行列表記による一般的な形式がありますが、それは後ほど紹介します。

この例題では、このケースに特化した、上記の一連の方程式を使用することにします。

ここで、この例題のために状態更新式を修正します。

The \( \alpha - \beta \) filter

レーダの追尾間隔(\( \Delta t \))を5秒とします。時刻 \( n - 1 \) におけるUAV（Unmanned Aerial Vehicle）の位置の推定範囲は30,000 m、UAVの推定速度は40 m/sであると仮定します。

状態方程式を用いると、時刻 \( n \) におけるUAVの位置が予測できます。

\[ \hat{x}_{n,n-1}= \hat{x}_{n-1,n-1}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{n-1,n-1}=30000+5\ast40=30200m \]

時刻 \( n \)におけるUAVの速度は次のように求められます。

\[ \hat{\dot{x}}_{n,n-1}= \hat{\dot{x}}_{n-1,n-1}=40m/s \]

しかしながら、時刻 \( n \) にレーダが測定した距離（\( z_{n} \)）は30,110 mであったとします。これは、予測された30,200 mとは異なります。予測された距離と測定された距離の間には、90 m の誤差があります。この誤差の原因は2つ考えられます。

• レーダによる測定は正確ではない。
• UAVの速度が、 \( \frac{30,110-30,000}{5}=22m/s \) に変化した。

これら2つの原因のうち、正しいのはどちらでしょうか？

ここで、速度の状態更新式を書き出してみます。

係数\( \beta \)の値は、レーダの精度に依存します。仮にレーダの精度が\( 1 \sigma \)で20 mとすると、予測距離と実測距離の間に90 mのずれがあるのは、機体の速度が変化したためである可能性が高いと考えられます。この場合、\( \beta \)の値を高く設定する（測定値を信用するようにする）必要があります。仮に\( \beta \)=0.9とすると、UAVの推定速度は次のようになります。

\[ \hat{\dot{x}}_{n,n}= \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+ \beta \left( \frac{z_{n}-\hat{x}_{n,n-1}}{ \Delta t} \right) =40+0.9 \left( \frac{30110-30200}{5} \right) =23.8m/s \]

一方、レーダの \( 1 \sigma \) の精度が150 mであるとします。この場合、90 mのずれはレーダの測定誤差に起因すると考えられます。この場合、\( \beta \)の値を低く設定する（予測値を信用するようにする）必要があります。仮に\( \beta \)=0.1とすると、UAVの推定速度は次のようになります。

\[ \hat{\dot{x}}_{n,n}= \hat{\dot{x}}_{n,n-1}+ \beta \left( \frac{z_{n}-\hat{x}_{n,n-1}}{ \Delta t} \right) =40+0.1 \left( \frac{30110-30200}{5} \right) =38.2m/s \]

UAVの位置に関する状態更新式は、前回の例で導き出された式と同様です。

前回の例では、\( \alpha \) の値が繰り返し計算された ( \( \alpha _{n}= \frac{1}{N} \) ) のに対し、この例では、 \( \alpha \) の値は一定です。

\( \alpha \) の大きさは、レーダの測定精度に依存します。高精度のレーダでは、 \( \alpha \) の値を大きくして、測定値に大きい重みを持たせるようにします。もし \( \alpha \) =1であれば、推定位置は測定位置と等しくなります。

\[ \hat{x}_{n,n}=~ \hat{x}_{n,n-1}+ 1 \left( z_{n}- \hat{x}_{n,n-1} \right) = z_{n} \]

\( \alpha =0 \) とすると、測定値は無視されます。

\[ \hat{x}_{n,n}=~ \hat{x}_{n,n-1}+ 0 \left( z_{n}- \hat{x}_{n,n-1} \right) = x_{n,n-1} \]

ここでは、レーダトラッカの状態更新式を構成する方程式系を導き出しました。これらは、\( \alpha - \beta \) track update equations や \( \alpha - \beta \) track filtering equations と呼ばれます。

推定アルゴリズム

この例で使用されている推定アルゴリズムを次の図に示します。

前回の例とは異なり、この例ではゲイン値 \( \alpha \) と \( \beta \) が与えられています。カルマンフィルタでは \( \alpha \) と \( \beta \) はカルマンゲインに置き換えられ、各反復で計算されますが、それは後ほど扱います。

次から、実際に数値例を用いて解説します。

数値例

1次元の世界で、レーダーから放射状に遠ざかる（もしくは向かう）航空機を考えます。

\( \alpha - \beta \) フィルタのパラメータは次の通りです。

• \( \alpha =0.2 \)
• \( \beta =0.1 \)

また、追尾間隔は5秒とします。

反復開始前

初期化

時刻 \( n=0 \) における初期条件は次にように与えられます。

\[ \hat{x}_{0,0}=30000m \] \[ \hat{\dot{x}}_{0,0}=40m/s \]

予測

初期推定値は、状態方程式を用いて第1周期 ( \( n=1 \) ) まで計算するものとします。

\[ \hat{x}_{n+1,n}= \hat{x}_{n,n}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{n,n} \rightarrow \hat{x}_{1,0}= \hat{x}_{0,0}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{0,0} =30000+5 \times 40=30200m \] \[ \hat{\dot{x}}_{n+1,n}= \hat{\dot{x}}_{n,n} \rightarrow \hat{\dot{x}}_{1,0}= \hat{\dot{x}}_{0,0} =40m/s \]

反復1回目

最初のサイクル ( \( n=1 \) )では、初期推定値は前回の推定値（事前推定値）です。

\[ \hat{x}_{n,n-1}=~ \hat{x}_{1,0}=30200m \] \[ \hat{\dot{x}}_{n,n-1}=~ \hat{\dot{x}}_{1,0}=40m/s \]

Step 1

レーダは航空機の距離を測定します。

\[ z_{1}= 30171m \]

Step 2

状態更新式を用いて事後推定値を計算します

\[ \hat{x}_{1,1}=~ \hat{x}_{1,0}+ \alpha \left( z_{1}- \hat{x}_{1,0} \right) =30200+0.2 \left( 30171-30200 \right) = 30194.2m \] \[ \hat{\dot{x}}_{1,1}= \hat{\dot{x}}_{1,0}+ \beta \left( \frac{z_{1}-\hat{x}_{1,0}}{ \Delta t} \right) = 40+0.1 \left( \frac{30171-30200}{5} \right) = 39.42m/s \]

Step 3

状態方程式を用いて、次の時刻の状態を推定します。

\[ \hat{x}_{2,1}= \hat{x}_{1,1}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{1,1} =30194.2+5 \times 39.42=30391.3m \] \[ \hat{\dot{x}}_{2,1}= \hat{\dot{x}}_{1,1} =39.42m/s \]

反復2回目

単位時間の遅延の後、前の反復で予測された推定値は、この反復では事前推定値として用いられます。

\[ \hat{x}_{2,1}=30391.3m \] \[ \hat{\dot{x}}_{2,1}= 39.42m/s \]

Step 1

レーダは航空機の距離を測定します。

\[ z_{2}= 30353m \]

Step 2

状態更新式を用いて事後推定値を計算します。

\[ \hat{x}_{2,2}=~ \hat{x}_{2,1}+ \alpha \left( z_{2}- \hat{x}_{2,1} \right) =30391.3+0.2 \left( 30353-30391.3 \right) = 30383.64m \] \[ \hat{\dot{x}}_{2,2}= \hat{\dot{x}}_{2,1}+ \beta \left( \frac{z_{2}-\hat{x}_{2,1}}{ \Delta t} \right) = 39.42 + 0.1 \left( \frac{30353-30391.3}{5} \right) = 38.65m/s \]

Step 3

状態方程式を用いて、次の時刻の状態を推定します。

\[ \hat{x}_{3,2}= \hat{x}_{2,2}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{2,2} =30383.64+5 \times 38.65=30576.9m \] \[ \hat{\dot{x}}_{3,2}= \hat{\dot{x}}_{2,2} =38.65m/s \]

反復3回目

\[ z_{3}= 30756m \] \[ \hat{x}_{3,3}=~ 30576.9+0.2 \left( 30756 -30576.9 \right) = 30612.73m \] \[ \hat{\dot{x}}_{3,3}= 38.65+0.1 \left( \frac{30756 - 30576.9}{5} \right) = 42.2m/s \] \[ \hat{x}_{4,3}= 30612.73+5 \times 42.2=30823.9m \] \[ \hat{\dot{x}}_{4,3}= 42.2m/s \]

反復4回目

\[ z_{4}= 30799m \] \[ \hat{x}_{4,4}=~ 30823.9+0.2 \left( 30799-30823.9 \right) = 30818.93m \] \[ \hat{\dot{x}}_{4,4}= 42.2+0.1 \left( \frac{30799-30823.9}{5} \right) = 41.7m/s \] \[ \hat{x}_{5,4}= 30818.93+5 \times 41.7=31027.6m \] \[ \hat{\dot{x}}_{5,4}= 41.7m/s \]

反復5回目

\[ z_{5}= 31018m \] \[ \hat{x}_{5,5}=~ 31027.6+0.2 \left( 31018 -31027.6 \right) = 31025.7m \] \[ \hat{\dot{x}}_{5,5}= 41.7+0.1 \left( \frac{31018 -31027.6}{5} \right) = 41.55m/s \] \[ \hat{x}_{6,5}= 31025.7+5 \times 41.55 = 31233.4m \] \[ \hat{\dot{x}}_{6,5}= 41.55m/s \]

反復6回目

\[ z_{6}= 31278m \] \[ \hat{x}_{6,6}=~ 31233.4+0.2 \left( 31278 -31233.4 \right) = 31242.3m \] \[ \hat{\dot{x}}_{6,6}= 41.55+0.1 \left( \frac{31278 -31233.4}{5} \right) = 42.44m/s \] \[ \hat{x}_{7,6}= 31242.3+5 \times 42.44 = 31454.5m \] \[ \hat{\dot{x}}_{7,6}= 42.44m/s \]

反復7回目

\[ z_{7}= 31276m \] \[ \hat{x}_{7,7}=~ 31454.5+0.2 \left( 31276 -31454.5 \right) = 31418.8m \] \[ \hat{\dot{x}}_{7,7}= 42.44+0.1 \left( \frac{31276 -31454.5}{5} \right) = 38.9m/s \] \[ \hat{x}_{8,7}= 31418.8+5 \times 38.9 = 31613.15m \] \[ \hat{\dot{x}}_{8,7}= 38.9m/s \]

反復8回目

\[ z_{8}= 31379m \] \[ \hat{x}_{8,8}=~ 31613.15+0.2 \left( 31379 -31613.15 \right) = 31566.3m \] \[ \hat{\dot{x}}_{8,8}= 38.9+0.1 \left( \frac{31379 -31613.15}{5} \right) = 34.2m/s \] \[ \hat{x}_{9,8}= 31566.3 + 5 \times 34.2 = 31737.24m \] \[ \hat{\dot{x}}_{9,8}= 34.2m/s \]

反復9回目

\[ z_{9}= 31748m \] \[ \hat{x}_{9,9}=~ 31737.24+0.2 \left( 31748 -31737.24 \right) = 31739.4m \] \[ \hat{\dot{x}}_{9,9}= 34.2+0.1 \left( \frac{31748 -31737.24}{5} \right) = 34.4m/s \] \[ \hat{x}_{10,9}= 31739.4+5 \times 34.4=31911.4m \] \[ \hat{\dot{x}}_{10,9}=34.4m/s \]

反復10回目

\[ z_{10}= 31865 \] \[ \hat{x}_{10,10}=~ 31974.8+0.2 \left( 31865 -31974.8 \right) =31952.9m \] \[ \hat{\dot{x}}_{10,10}= 42.1+0.1 \left( \frac{31865 -31974.8}{5} \right) =39.9m/s \] \[ \hat{x}_{11,10}= 31952.9+5 \times 39.9=32152.4m \] \[ \hat{\dot{x}}_{11,10}= 39.9m/s \]

以下の表は、私たちの測定値および推定値をまとめたものです。

次の図は、真値、測定値、推定値を比較したものです。

我々の推定アルゴリズムが測定値を平滑化し、真値に向かって収束していることがわかります。

Using high \( \alpha \) and \( \beta \)

次の図は、\( \alpha = 0.8 \) と \( \beta = 0.5 \) における推定値と真値、実測値を表したものです。

このフィルタの平滑化の効果はかなり低いことがわかります。推定値は測定値に非常に近く、予測される推定値の誤差はかなり大きいことがわかります。

では、\( \alpha \) と \( \beta \) は常に低い値を選べばよいのでしょうか？

答えは"NO"です。なぜなら、\( \alpha \) と \( \beta \) の値は測定精度に依存するものと考えられるためです。レーザレーダのような非常に精密な機器を使用する場合は、測定値に追従するよう、\( \alpha \) と \( \beta \) の値を大きくしておくことが望ましいです。この場合、ターゲットの速度変化にフィルターが素早く反応することになります。一方、測定精度が低い場合は、\( \alpha \) と \( \beta \) を低くすることが望ましいです。この場合、フィルタは測定値の不確かさ（誤差）を平滑化するように振る舞います。しかし、ターゲットの速度変化に対するフィルタの反応はかなり鈍くなります。

\( \alpha \) と \( \beta \) の計算は重要なテーマなので、後ほど詳しく説明します。

本例題のまとめ

この例では、\( \alpha - \beta \) フィルタの状態更新式を導きました。また、状態方程式を学習した。\( \alpha - \beta \) フィルタに基づく1次元系の推定アルゴリズムを開発し、等速運動する航空機に対する数値例を考えました。

Example 3 – 1次元における加速度運動をする航空機の追尾

次の図は、ターゲットとの距離、速度、加速度と時間の関係を表したものです。

グラフからわかるように、機体速度は最初の15秒は一定で、その後は線形に変化しています。距離は最初の15秒間は線形に変化し、その後二次関数的に変化しています。

では、前回の例題で使用した \( \alpha - \beta \) フィルタを用いて、この航空機を追尾してみます。

数値例

1次元の世界で、レーダーから放射状に遠ざかる（もしくは向かう）航空機を考えます。

\( \alpha - \beta \) フィルタのパラメータは次の通りです。

• \( \alpha =0.2 \)
• \( \beta =0.1 \)

また、追尾間隔は5秒とします。

反復開始前

初期化

時刻 \( n=0 \) における初期条件は次にように与えられます。

\[ \hat{x}_{0,0}=30000m \] \[ \hat{\dot{x}}_{0,0}=50m/s \]

予測

初期推定値は、状態方程式を用いて第1周期 ( \( n=1 \) ) まで計算するものとします。

\[ \hat{x}_{n+1,n}= \hat{x}_{n,n}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{n,n} \rightarrow \hat{x}_{1,0}= \hat{x}_{0,0}+ \Delta t\hat{\dot{x}}_{0,0} =30000+5 \times 50=30250m \] \[ \hat{\dot{x}}_{n+1,n}= \hat{\dot{x}}_{n,n} \rightarrow \hat{\dot{x}}_{1,0}= \hat{\dot{x}}_{0,0} =50m/s \]

すべての反復計算を、次の表にまとめます。

以下のグラフは、最初の75秒間のターゲットとの距離と速度の真値、測定値、推定値を比較したものです。

真値または測定値と推定値との間に一定の誤差が存在することがわかるかと思います。この誤差をラグエラー (lag error) と呼びます。ラグエラーの他の一般的な名称は以下の通りです

• Dynamic error
• Systematic error
• Bias error
• Truncation error

本例題のまとめ

この例では、一定の加速度によって発生するラグエラーを調べました。

Example 4 – \( \alpha -\beta -\gamma \) フィルタによる加速度運動をする航空機の追尾

次の図は、最初の50秒間のターゲットの距離、速度、加速度について、真値、測定値、推定値を比較したものです。

このように、加速度を含むシステムモデルを用いた \( \alpha -\beta -\gamma \) フィルタは、一定の加速度で目標に追従し、ラグエラーを解消することができます。

しかし、マニューバを行うようなターゲットの場合はどうなるでしょうか。ターゲットは突然旋回することで飛行方向を変えることができます。また、真のターゲットのシステムモデルには、ジャーク（加速度の変化）が含まれることもあります。このような場合、\( \alpha -\beta -\gamma \) の係数が一定の \( \alpha -\beta -\gamma \) フィルタは推定誤差を生じ、場合によってはターゲットを失うことになります。

カルマンフィルタはシステムモデルの不確実性を扱うことができますが、これは次のトピックで扱います。

\( \alpha -\beta -\gamma \) フィルタのまとめ

将来的には、これらのフィルタのいくつかについてチュートリアルを書きたいと思っていますが、このチュートリアルはカルマンフィルタについてのものなので、次のトピックではカルマンフィルタについて解説します。