これまでのまとめ
ここで先に進む前に、これまで学んできたことをまとめたいと思います。
"1次元カルマンフィルタ"で学んだように（もし忘れてしまっていたら、もう一度復習してください）、カルマンフィルタの計算は5つの式で成り立っています。
2つの予測方程式
- 状態方程式 - 現在の推定値に基づいて、将来の状態を予測または推定します。
- 共分散遷移式 - 予測の不確かさを求めます。
2つの更新式
- 状態更新式 - 過去の推定値と現在の測定値に基づいて、現在の状態を推定します。
- 共分散更新式 - 推定の不確かさを求めます。
カルマゲインの式 – 更新式を計算するために必要となります。カルマンゲインは、実際には観測値と過去の推定値に対する「重み付け」パラメータです。過去の推定の重みと、現在の状態を推定する際の観測の重みを定義します。
ここまでで、行列表記による2つの予測方程式と、メインの方程式の計算に必要ないくつかの補助方程式を学習した。
予測方程式
状態方程式
一般的な、行列表記の状態方程式は次のように表されます。
| \( \boldsymbol{\hat{x}_{n+1,n}} \) | ：時刻 \( n + 1 \) における状態ベクトル（予測値） |
| \( \boldsymbol{\hat{x}_{n,n}} \) | ：時刻 \( n \) における状態ベクトル（推定値） |
| \( \boldsymbol{u_{n}} \) | ：制御変数 または 入力変数。システムへの観測可能な入力である。 |
| \( \boldsymbol{w_{n}} \) | ：プロセス雑音または外乱。 これらは、状態に影響を及ぼすが、観測できない。 |
| \( \boldsymbol{F} \) | ：システム行列 |
| \( \boldsymbol{G} \) | ：入力係数行列 |
共分散遷移式
一般的な、共分散遷移式は次のように表されます。
| \( \boldsymbol{P_{n,n}} \) | ：現時点における共分散行列（推定値） |
| \( \boldsymbol{P_{n+1,n}} \) | ：次時点における共分散行列（予測値） |
| \( \boldsymbol{F} \) | ："線形システムのモデリング"で導出した、システム行列 |
| \( \boldsymbol{Q} \) | ：プロセス雑音の共分散行列 |
補助方程式
観測方程式
一般的な、行列表記の観測方程式は次のように表されます。
| \( \boldsymbol{z_{n}} \) | ：観測ベクトル |
| \( \boldsymbol{x_{n}} \) | ：真のシステムの状態（観測不可） |
| \( \boldsymbol{v_{n}} \) | ：ランダム雑音ベクトル |
| \( \boldsymbol{H} \) | ：観測行列 |
共分散方程式
プロセスノイズと測定ノイズのベクトルに対応する \( \boldsymbol{w} \) と \( \boldsymbol{v} \) の項は未知であり、通常、関心のある方程式に直接現れないという点で興味深いものです。
これらの項は方程式自身の不確かさ（または雑音）をモデル化するために使用されます。
共分散行列は次の式で表されます。
\[ E \left( \boldsymbol{ee^{T}} \right) \]
すなわち、期待値の2乗誤差です。詳細は背景を参照してください。
観測値の不確かさ
観測値の共分散行列は次の式で表されます。
| \( \boldsymbol{R_{n}} \) | ：観測値の共分散行列 |
| \( \boldsymbol{v_{n}} \) | ：観測誤差 |
プロセス雑音の不確かさ
プロセス雑音の共分散行列は次のように表されます。
| \( \boldsymbol{Q_{n}} \) | ：プロセス雑音の共分散行列 |
| \( \boldsymbol{w_{n}} \) | ：プロセス雑音 |
推定値の不確かさ
推定値の誤差共分散行列は次のように表されます。
| \( \boldsymbol{P_{n,n}} \) | ：誤差共分散行列 |
| \( \boldsymbol{e_{n}} \) | ：推定誤差 |
| \( \boldsymbol{x_{n}} \) | ：真のシステムの状態（観測不可） |
| \( \boldsymbol{\hat{x}_{n,n}} \) | ：時刻 \( n \) における状態ベクトル（推定値） |